Основно и средње образовање Брашован стиче у родном месту, а затим, 1906. године уписује Архитек­тонски факултет Техни­­ч­ког универзитета у Будимпешти. Систем наставе на факултету био је организован кроз осам семестара, а након друге године студија полагао се строги (стручни) испит, што је иначе у то време била уобичајена процедура на свим техничким факултетима и академијама у Средњој Европи. Дипломски рад (који се састојао од дипломског пројекта и завршног испита) положио је 30. септембра 1912. године са оценом „одличан“. Наредних шест година провешће радећи у просла­вљеном Архитектонском атељеу „Тери и Погањ“ у Будимпешти. Након рата враћа се у отаџбину. Неколико година је био запослен на месту градског архитекте у Великом Бечкереку. Отуда је Брашованово дело било поприлично заступљено у овом граду (Соколски дом, вила на Бегеју, адаптација Позоришта), као и у околини (Црква у Орловату). Међутим, већ почетком двадесетих година прошлог века, Брашован ће своју афирмацију потпуно везати за Београд. У престоници је са својим кумом архитектом Миланом Секулићем основао фирму „Архи­тект“, где је он радио као главни пројектант. Фирма се бавила и извођачким радовима. Од 1925. године Секулић формира грађевинску фирму која се бави предузимачким и извођачким пословима, а Драгиша Брашован од тада ради самостално, под фирмом „Архитекта Драгиша Брашован“, искључиво пројектантске услуге. Оно по чему је Брашован највише вреднован у историји српске архитектуре везује се за потоњи период, када своје сјајно академско образовање оставља по страни и прихвата основне постулате надолазеће, модерне архитектуре. Тада настају и ње­го­ва најзначајнија дела: Зграда ИВ Војводине у Новом Саду (Бановина), зграда команде ваздухопловства у Земуну, зграда Држав­не штампарије и хотела „Метропол“ у Београду. Поред тога пројектовао је низ стамбених зграда и породичних кућа.