Родио се у Нишу 29. јануара 1934. године.  Бранков отац Глигорије (1907) пореклом је из Гаџиног Хана, а мајка Марија (1908. рођена Браило) из села Трбоуња код Дрниша у Хрватској. Имао је и брата Драгишу чијим залагањем је за живота и после песникове смрти сређена и сачувана Бранкова заоставштина „Вожд Карађорђе“ у Нишу. Од 1949. до 1953. године Миљковић је био ученик Прве нишке гимназије „Стеван Сремац“ у Нишу, где је његов песнички дар откривен у школском књижевном друштву „Његош“, у коме је, поред осталих, била и песникиња Гордана Тодоровић. У Нишу пише и пред својим вршњацима и професорима чита своје прве песме са тринаест година. Прву песму објавио је 1952. у београдском листу „Записи“, имао је тада осамнаест година. У Нишу, песме објављује у „Службеном гласнику“, „Гласу омладине“, „Нашем путу“, „Гледиштима“ . Године 1953. из Ниша је отишао у Београд на студије филозофије и на Филозофском факултету дипломира 1957. Још као студент (1956) припадао је групи неосимболиста, чији је идејни вођа био проф. Драган М. Јеремић, а коју су, поред Миљковића, чинили: Божидар Тимотијевић, Жика Лазић, Драган Колунџија, Милован Данојлић, Петар Пајић, Коста Димитријевић, Вера Србиновић, Рајко Чукић... настојећи да у поезији синтетизује песничко искуство симболиста и надреалиста. Када је дошао у Београд Бранко је пуне три године, обилазио редакције многих часописа али није наишао на разумевање. Прве песме у Београду му објављује Оскар Давичо 1955. у часопису „Дело“, и тиме му отвара врата осталих издавача и странице бројних часописа. Убрзо потом следи његова прва збирка песама „Узалуд је будим“ 1956, којом постиже успех код публике и критичара, а потом и збирке песама: „Смрћу против смрти“ (заједно са Блажом Шћепановићем, 1959), „Порекло наде“ (1960), „Ватра и ништа“ (1960), „Крв која светли“ (1961)... Књижевна критика га је врло брзо, без обзира на његову младост, сврстала у сам врх српске поезије. То је потврдила додела Октобарске наградекоја је била једна од најпресижнијих награда која се додељивала у то време. Његове ране песме показују утицај француских симболиста Валерија и Малармеа, као и Хераклитове филозофије. Најзначајнија је његова збирка „Ватра и ништа“ у чијој се основи, поред античких митова, налазе национални митови и легенде које је он уткао у сопствену поетику, посебно у циклусу „Утва златокрила“. Поред поезије, писао је есеје и критике и бавио се превођењем руских и француских песника.
По једнима услед личних неспоразума са једним бројем песника и пријатеља, а по другима због проблема „узрокованих љубавним јадом“, напушта Београд, у јесен 1960, и одлази за уредника Литерарне редакције загребачког радија. У Загребу, највераоватније незадовољан својим животом, Бранко се одаје алкохолу.
Трагично је преминуо у Загребу у ноћи између 11. и 12. фебруара 1961. Године, нађен је обешен о дрво на периферији Загреба. Његова изненадна и прерана смрт отворила је Пандорину кутију разних интерпретација и нагађања, да ли је узрок његове смрти убиство или самоубиство.