Rodio se u Nišu 29. januara 1934. godine.  Brankov otac Gligorije (1907) poreklom je iz Gadžinog Hana, a majka Marija (1908. rođena Brailo) iz sela Trbounja kod Drniša u Hrvatskoj. Imao je i brata Dragišu čijim zalaganjem je za života i posle pesnikove smrti sređena i sačuvana Brankova zaostavština „Vožd Karađorđe“ u Nišu.

Od 1949. do 1953. godine Miljković je bio učenik Prve niške gimnazije „Stevan Sremac“ u Nišu, gde je njegov pesnički dar otkriven u školskom književnom društvu „Njegoš“, u kome je, pored ostalih, bila i pesnikinja Gordana Todorović. U Nišu piše i pred svojim vršnjacima i profesorima čita svoje prve pesme sa trinaest godina. Prvu pesmu objavio je 1952. u beogradskom listu „Zapisi“, imao je tada osamnaest godina. U Nišu, pesme objavljuje u „Službenom glasniku“, „Glasu omladine“, „Našem putu“, „Gledištima“ . Godine 1953. iz Niša je otišao u Beograd na studije filozofije i na Filozofskom fakultetu diplomira 1957. Još kao student (1956) pripadao je grupi neosimbolista, čiji je idejni vođa bio prof. Dragan M. Jeremić, a koju su, pored Miljkovića, činili: Božidar Timotijević, Žika Lazić, Dragan Kolundžija, Milovan Danojlić, Petar Pajić, Kosta Dimitrijević, Vera Srbinović, Rajko Čukić... nastojeći da u poeziji sintetizuje pesničko iskustvo simbolista i nadrealista. Kada je došao u Beograd Branko je pune tri godine, obilazio redakcije mnogih časopisa ali nije naišao na razumevanje. Prve pesme u Beogradu mu objavljuje Oskar Davičo 1955. u časopisu „Delo“, i time mu otvara vrata ostalih izdavača i stranice brojnih časopisa. Ubrzo potom sledi njegova prva zbirka pesama „Uzalud je budim“ 1956, kojom postiže uspeh kod publike i kritičara, a potom i zbirke pesama: „Smrću protiv smrti“ (zajedno sa Blažom Šćepanovićem, 1959), „Poreklo nade“ (1960), „Vatra i ništa“ (1960), „Krv koja svetli“ (1961)... Književna kritika ga je vrlo brzo, bez obzira na njegovu mladost, svrstala u sam vrh srpske poezije. To je potvrdila dodela Oktobarske nagradekoja je bila jedna od najpresižnijih nagrada koja se dodeljivala u to vreme. Njegove rane pesme pokazuju uticaj francuskih simbolista Valerija i Malarmea, kao i Heraklitove filozofije. Najznačajnija je njegova zbirka „Vatra i ništa“ u čijoj se osnovi, pored antičkih mitova, nalaze nacionalni mitovi i legende koje je on utkao u sopstvenu poetiku, posebno u ciklusu „Utva zlatokrila“. Pored poezije, pisao je eseje i kritike i bavio se prevođenjem ruskih i francuskih pesnika.
Po jednima usled ličnih nesporazuma sa jednim brojem pesnika i prijatelja, a po drugima zbog problema „uzrokovanih ljubavnim jadom“, napušta Beograd, u jesen 1960, i odlazi za urednika Literarne redakcije zagrebačkog radija. U Zagrebu, najveraovatnije nezadovoljan svojim životom, Branko se odaje alkoholu.
Tragično je preminuo u Zagrebu u noći između 11. i 12. februara 1961. Godine, nađen je obešen o drvo na periferiji Zagreba. Njegova iznenadna i prerana smrt otvorila je Pandorinu kutiju raznih interpretacija i nagađanja, da li je uzrok njegove smrti ubistvo ili samoubistvo.