Апсолвирао је на Академији за позориште, филм, радио и телевизију у Београду. Од 1964. до 1966. године био је члан Југословенског драмског позоришта у Београду. Глумачку каријеру је почео у Народном позоришту у Београду, као студент прве године Позоришне академије. Био је најмлађи Митке у историји југословенског позоришта.
Филмску каријеру је започео епизодном улогом у филму Жике Митровића „Ешалон доктора М.“ 1955. године. Главне и веће споредне улоге је играо у више од тридесет домаћих филмова, а снимао је и у Италији. Под псеудонимом „Антони Гидра“ (Anthony Ghidra), Драгомир Бојанић је шездесетих година у Италији снимио десетак вестерна и акционих филмова. За улогу у филму „Балада о револверашу“ (1967) режисера А. Калтабијана добио је и награду.
На фестивалу у Пули 1974. године је освојио Златну арену за улогу партизана Тадије Чемеркића у филму Радомира Шарановића „Свадба“ (1973) насталом према истоименом роману Михајла Лалића.
Иако је снимио велики број филмова, највећу популарност, широм СФРЈ, стекао је улогом Жике Павловића коју је, у десет делова филма „Луде године“, играо од 1978. до 1992. године. Такође је остао познат и по улогама каплара Јанићија у филму „Марш на Дрину“, Жике Митровића из 1964. године и агента Микуле у серији Повратак отписаних из 1978. године.
Преминуо је 11. новембра 1993. године, у Београду, од рака јетре. Сахрањен је у Алеји заслужних грађана на Новом гробљу. Његова супруга, Љиљана Контић, такође је била глумица.